Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，
设△EDQ的面积为y（cm²），求y与时间x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x为何值时，△EDQ为直角三角形．

Answer 1

分析：（1）通过△AEP∽△ADC，列出比例关系，即可用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）Q在BD上运动x秒后，求出DQ、CP，即可表示y与时间x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（3）通过∠EQP=90°，∠QED=90°，分别通过三角形相似，列出比例关系，求出x的值，说明△EDQ为直角三角形．

解答：解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，
∵EP∥DC，∴△AEP∽△ADC，
∴

EA

AD

=

AP

AC

即

EA

5

=

x

4

，∴EA=

5

4

x，DE=5-

5

4

x…（3分）
（2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2，
当点Q在BD上运动x秒后，DQ=2-1.25x，
则y=

1

2

×DQ×CP=

1

2

(4-x)(2-1.25x)=

5

8

 x2-

7

2

x+4…（6分）
即y与x的函数解析式为：y=

5

8

x2-

7

2

x+4，其中自变量的取值范围是：0＜x＜1.6．
（3）分两种情况讨论：
①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-x，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC
∴

EQ

AC

=

DQ

DC

，DQ=1.25x-2
即

4-x

4

=

1.25x-2

3

…解得x=2.5…（9分）

②当∠QED=90°时，

∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°∴△EDQ∽△CDA
∴

DQ

DA

=

Rt△EDQ斜边上的高

Rt△CDA斜边上的高

，
Rt△EDQ斜边上的高：4-x，
Rt△CDA斜边上的高为：

12

5

．

∴

1.25x-2

5

=

5(4-x)

12

，
解得x=3.1．
综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形．…（12分）

点评：本题是中档题，借助三角形考查函数的应用，以及三角形相似的性质，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力．