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12.已知函数f(x)=aex-1+|x-a|-1有两个零点,则实数a的取值范围是(  )
A.[-1,1]B.[0,1]C.{-1}∪(0,1]D.{-1}∪[0,1)

分析 根据函数和方程之间的关系讲方程转化为aex-1-1=-|x-a|,利用数形结合分别作出函数t(x)=aex-1-1与g(x)=-|x-a|的图象,利用数形结合进行求解即可.

解答 解:由f(x)=aex-1+|x-a|-1=0,得aex-1-1=-|x-a|,
设g(x)=-|x-a|,t(x)=aex-1-1,
①若a=0,则t(x)=-1,g(x)=-|x|,
作出t(x)和g(x)的图象如图:此时两个函数有两个交点,满足条件,

②若a>0,则函数g(x)的零点为(a,0),
由t(x)=0得aex-1-1=0,即ex-1=$\frac{1}{a}$,
则x-1=ln$\frac{1}{a}$=-lna,
则x=1-lna,
即f(x)的零点为(1-lna,0),
若两个函数有两个零点,
则1-lna>a,即1-lna-a>0,
设h(a)=1-lna-a,则函数在(0,+∞)上为减函数,
∵h(1)=1-ln1-1=0,
∴由h(a)>0得h(a)>h(1),得a<1.
即此时0<a<1,

③若a<0,当x>a时,g(x)=-|x-a|=-x+a,
当g(x)与t(x)相切时,满足有两个交点,
此时t′(x)=aex-1,设切点为(m,n),
则切线斜率k=aem-1,n=aem-1-1,即切点坐标为(m,aem-1-1),
则切线方程为y-(aem-1-1)=aem-1(x-m),
即y=aem-1(x-m)+(aem-1-1)=aem-1•x-maem-1+aem-1-1,
∵g(x)=-x+a
∴aem-1=-1,-maem-1+aem-1-1=a,
得m-1-1=a,即m=a+2,
则aea+2-1=-1,即aea+1=-1,
得a=-1,

综上所述,0≤a<1或a=-1
故选:D.

点评 本题主要考查根的个数的判断,根据函数与方程的关系,转化为两个函数的交点问题,利用分类讨论的数学思想进行求解即可,综合性较强,难度大.

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