Question

【题目】斜棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥面ABC，侧面AA1C1C为菱形，∠A1AC=60°，E，F分别为A1C1和AB的中点．

（1）求证：平面CEF⊥平面ABC；
（2）若三棱柱的所有棱长为2，求三棱柱F﹣ECB的体积；
（3）D为棱BC上一点，若C1D∥EF，请确定点D位置，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

又因为侧面AA1C1C⊥面ABC，所以EC⊥CF，所以EC⊥平面ABC，
又EC在平面CEF内，所以平面CEF⊥平面ABC；

（2）解：∵CE⊥面ABC，∴CE为三棱锥E﹣BCF的高，

在Rt△CC1E中，可得 ，

又∵ ，

∴

（3）解：D为棱BC中点点，

∵C1D∥EF，∴C1，D，E，F共面，

．

【解析】（1）根据如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；（2）三菱锥的体积为底面三角形的面积与其上高的乘积，所以确定三棱锥的高是求其体积的关键；（3）最终利用三角形中位线定理确定点D为线段BC的中点.
【考点精析】关于本题考查的平面与平面垂直的判定，需要了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．