Question

过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂；…；依此下去，得到一系列点M₁，M₂，…M_n，…；设它们的横坐标a₁，a₂，…，
a_n…构成数列为{a_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（ II）求证：；
（ III）当k=2时，令，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）对y=x^k求导数，
得y′=kx^k-1，
点是M_n（a_n，a_n^k）的切线方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．…（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），
即0-a₁^k=ka₁^k-1（1-a₁），
得；
当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0），
即0-a_n^k=ka_n^k-1（a_n-1-a_n），
得．
所以数列{a_n}是首项，公比为的等比数列，
所以数列{a_n}的通项公式为．…（4分）
（ II）应用二项式定理，得．…（8分）
（ III）当k=2时，a_n=2ⁿ，
数列{b_n}的前n项和S_n=，
同乘以，得=，
两式相减，…（10分）
得=，
所以S_n=．…（12分）
分析：（Ⅰ）对y=x^k求导数，得y′=kx^k-1，切点是M_n（a_n，a_n^k）的切线方程是y-a_n^k=ka_n^k-1（x-a_n）．当n=1时，；当n＞1时，得．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（ II）应用二项式定理，得．
（ III）当k=2时，a_n=2ⁿ，数列{b_n}的前n项和S_n=，利用错位相减法能够得到S_n=．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，证明，求数列的前n项和．对数学思维的要求比较高，要认真审题，注意错位相减法的灵活运用，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．