Question

关于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的两实根为x₁，x₂，若0＜x₁＜1＜x₂＜2，则

b

a

的取值范围是（　　）

• A、(-2，-

  4

  5

  )
• B、(-

  3

  2

  ，-

  4

  5

  )
• C、(-

  5

  4

  ，-

  2

  3

  )
• D、(-

  5

  4

  ，-

  1

  2

  )

Answer 1

分析：先利用二次方程根的分布得出关于a，b的约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=

b

a

，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线OP过可行域内的点A或点C时，z分别、取得最大或最小，从而得到

b

a

的取值范围即可．

解答：解：设f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，
则方程f（x）=0的两实根x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂＜2的
充要条件是

f(0)=a+b+1＞0 f(1)=2a+b+3＜0 f(2)=3a+b+7＞0

，
作出点（a，b）满足的可行域为△ABC的内部，
其中点A（-2，1）、B（-3，2）、C（-4，5），

b

a

的几何意义是△ABC内部任一点（a，b）与原点O连线的斜率，
而kOA=-

1

2

，kOB=-

2

3

，kOC=-

5

4

作图，
易知

b

a

∈(-

5

4

，-

1

2

)．
故选D．

点评：本小题是一道以二次方程的根的分布为载体的线性规划问题，考查化归转化和数形结合的思想，能力要求较高．