Question

已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[0，2]时，f（x）=（x-1）²，如果g（x）=f（x）-log₅|x-1|，则函数y=g（x）的所有零点之和为

8

．

Answer 1

分析：分别作出函数y=f（x）、y=log₅|x-1|的图象，结合函数的对称性，即可求得结论．

解答：解：当x∈[0，2]时，f（x）=（x-1）²，函数y=f（x）的周期为2，可作出函数的图象；
图象关于y轴对称的偶函数y=log₅|x|向右平移一个单位得到函数y=log₅|x-1|，则y=log₅|x-1|关于x=1对称，可作出函数的图象．
函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞6时，y=log₅|x-1|＞1，此时函数图象无交点，又两函数在[1，6]上有4个交点，由对称性知它们在[-4，1]上也有4个交点，且它们关于直线x=1对称，所以函数y=g（x）的所有零点之和为
4×2=8，故答案为：8

点评：本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．