Question

10．设a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），观察下列运算：a₁•a₂=log₂3•log₃4=$\frac{lg3}{lg2}•\frac{lg4}{lg3}$=2；a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=log₂3•log₃4…log₆7•log₇8=$\frac{lg3}{lg2}•\frac{lg4}{lg3}…\frac{lg7}{lg6}•\frac{lg8}{lg7}$=3；则当a₁•a₂…a_k=2015时，正整数k为（　　）

• A． 2²⁰¹⁵-2
• B． 2²⁰¹⁵
• C． 2²⁰¹⁵+2
• D． 2²⁰¹⁵-4

Answer 1

分析 由题意知a₁•a₂•…•a_k=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•$\frac{lg5}{lg4}$••$\frac{lg（k+2）}{lg（k+1）}$=2015，解方程即可得到结论．

解答 解：a₁•a₂••a_k=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•$\frac{lg5}{lg4}$••$\frac{lg（k+2）}{lg（k+1）}$=$\frac{lg（k+2）}{lg2}$=log₂（k+2），
由当a₁•a₂…a_k=2015，
即log₂（k+2）=2015，
解得k+2=2²⁰¹⁵，
即k=2²⁰¹⁵-2．
故选：A

点评 本题主要考查对数的基本运算，利用对数的换底公式将条件进行化简是解决本题的关键．解题时要注意公式的灵活运用．