Question

设集合A={x｜4^x–2^x+2+a=0,x∈R}.

（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；

（2）若对于任意a∈B，不等式x²–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围.

Answer 1

(1) B={a｜a≤0或a=4} (2)

解析:

(1)令2^x=t(t＞0)，设f(t)=t²–4t+a.

由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有

①f(t)=0有两等根时，Δ=016–4a=0a=4

验证:t²–4t+4=0t=2∈(0,+∞)，这时x=1

②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0a＜0

③若f(0)=0，则a=0，此时4^x–4·2^x=02^x=0（舍去），或2^x=4,∴x=2，即A中只有一个元素

综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}

（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立.  即g(a)=(x–2)a–(x²–6x)＞0恒成立.  只须

＜x≤2