Question

一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记a_k=1；出现“×”，则记a_k=-1，令S_n=a₁+a₂+••+a_n．
（I）当p=q=

1

2

时，记ξ=|S₃|，求ξ的分布列及数学期望；
（II）当p=

1

3

，q=

2

3

时，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

分析：（I）ξ=|S₃|的取值为1，3，故欲求ξ的分布列，只须分别求出取1或3时的概率即可，最后再结合数学期望的计算公式求得数学期望即可；
（II）由S₈=2知，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又S_i≥0（i=1，2，3，4）知包括两种情形：若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；或者若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．分别求出它们的概率后求和即得．

解答：解：（I）∵ξ=|S₃|的取值为1，3，又p=q=

1

2

，
∴P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

2

) -(

1

2

)2-2=

3

4

，P（ξ=3）=( 

1

2

)3+(

1

3

)3 =

1

4

（4分）
∴ξ的分布列为（5分）
∴Eξ=1×

3

4

+3×

1

4

=

3

2

．（6分）
（II）当S₈=2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；
若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．
故此时的概率为P=(

C

3 6

+

C

3 5

)•(

1

3

)5• (

2

3

)3=

30×8

38

=

80

37

(或

80

2187

)（12分）

点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列、古典概率及数据计算的能力，属于基础题．