Question

设M=(

1

a

-1)(

1

b

-1)(

1

c

-1)，且a+b+c=1(a、b、c∈R+)则M的取值范围为（　　）

• A．[0，

  1

  8

  )
• B．[

  1

  8

  ，1)
• C．[1，8）
• D．[8，+∞）

Answer 1

分析：根据题意中a+b+c=1，化简

1

a

-1可得

1

a

-1=

a+b+c

a

-1=

b+c

a

，又由基本不等式可得

b+c

a

≥

2 bc

a

；同理可得

1

b

-1≥

2 ac

b

，

1

c

-1≥

2 ab

c

；则可得（

1

a

-1）（

1

b

-1）（

1

c

-1）≥

2 ab

c

•

2 ac

b

•

2 ab

c

，计算可得其最小值为8，即可得答案．

解答：解：根据题意，a+b+c=1，则

1

a

-1=

a+b+c

a

-1=

b+c

a

≥

2 bc

a

；
同理

1

b

-1≥

2 ac

b

，

1

c

-1≥

2 ab

c

；
则（

1

a

-1）（

1

b

-1）（

1

c

-1）≥

2 ab

c

•

2 ac

b

•

2 bc

c

=8，
则（

1

a

-1）（

1

b

-1）（

1

c

-1）有最小值8，其取值范围为[8，+∞）；
故选D．

点评：本题考查基本不等式的应用，解题的关键在于利用a+b+c=1，对（

1

a

-1）、（

1

b

-1）、（

1

c

-1）3个式子进行化简．