Question

已知动点S过点T（0，2）且被x轴截得的弦CD长为4．
（1）求动圆圆心S的轨迹E的方程；
（2）设P是直线l：y=x-2上任意一点，过P作轨迹E的切线PA，PB，A，B是切点，求证：直线AB恒过定点M；
（3）在（2）的条件下，过定点M作直线：y=x-2的垂线，垂足为N，求证：MN是∠ANB的平分线．

Answer 1

解：（1）由题意，设S（x，y），则ST|²=2²+|y|²，即x²=4y，所以轨迹E的方程为x²=4y．
（2）设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），所以可得切线PA：，即
设P（t，t-2），P在PA上有，同理
故x₁，x₂是方程的两根，从而有，∴AB的方程为：，故恒过定点（2，2）．
（3）过定点M作直线：y=x-2的垂线方程为x+y-4=0，从而垂足为N（3，1），MN的斜率为1，倾斜角为135⁰．
若AN．BN的斜率均存在，分别为k₁，k₂，倾斜角为α，β，要证MN是∠ANB的平分线，只需要证k₁k₂=1

设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-2）+2代入x²=4y得x²-4kx+8k-8=0，∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-8∴y₁+y₂=4k²-4k+4，y₁y₂=4k²-8k+4，代入得
当时，k₁k₂=1，当时，解得A，B两点的坐标分别为，此时AN，BN的斜率一个不存在，一个为0，从而MN是∠ANB的平分线．
分析：（1）借助于图象把已知条件转化为|ST|²=2²+|y|²，就可求出圆心S的轨迹E的方程；
（2）先求切线方程，转化为x₁，x₂是方程的两根，从而得AB的方程，进而求出定点；
（3）若AN．BN的斜率均存在，分别为k₁，k₂，倾斜角为α，β，要证MN是∠ANB的平分线，只需要证k₁k₂=1，再说明斜率不存在时也成立即可．
点评：本题涉及到求轨迹方程问题．在求动点的轨迹方程时，一般是利用条件找到关于动点坐标的等式，整理可得所求方程．