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已知数列满足).
(1)若数列是等差数列,求它的首项和公差;
(2)证明:数列不可能是等比数列;
(3)若),试求实数的值,使得数列为等比数列;并求此时数列的通项公式.
(1)首项为,公差为;(2)证明见解析;(3)

试题分析:(1)这个问题可以用特殊值法,数列是等差数列,则前3项也成等差数列,利用它就可求出,或者先由已知求出通项公式,再与等差数列的通项公式比较求出,或者假设是等差数列,则代入已知,求出,然后与其通项公式比较,得出;(2)要证数列不是等比数列,只要证明不能成等比数列即可,但本题条件较少,可用反证法,假设它是等比数列,由成等比,求出,然后再求,看是否成等比,如果不成等比,则假设错误,命题得证;(3)数列为等比数列,则是常数,设,这是关于的恒等式,
,于是有对应项系数相等,由此可求出,从而得到结论.
试题解析:(1)解法一:由已知,   (1分)
是等差数列,则,即,   (1分)
, 故.      (1分)
所以,数列的首项为,公差为.   (1分)
解法二:因为数列是等差数列,设公差为,则
,   (1分)
,又,所以有,   (1分)
,从而.   (1分)
所以,数列的首项为,公差为.   (1分)
(2)假设数列是等比数列,则有
,      (1分)
解得,从而,    (1分)
.    (2分)
因为不成等比数列,与假设矛盾,
所以数列不是等比数列.       (2分)
(3)由题意,对任意,有为定值且),
.     (2分)
,   (1分)
于是,,   (1分)
所以,   (2分)
所以,当时,数列为等比数列.   (1分)
此数列的首项为,公比为,所以
因此,的通项公式为.    (1分)
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