Question

已知函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x³+6x+12，直线l：y=kx+9，又f′（-1）=0
（1）求函数f（x）=ax³+3x²-6ax-11在区间（-2，3）上的极值；
（2）是否存在k的值，使直线l既是曲线y=f（x）的切线，又是曲线y=g（x）的切线，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，由f'（-1）=0，可求a，代入可求导数的符号，进而可判断函数的单调区间，得到极值；
（2）由直线l：y=kx+9过定点（0，9），由导数的几何意义可求得g（x）切线方程，然后又由f'（x）=12得-6x²+6x+12=12可得x=0或x=1，同理可求f（x）的切线方程，进而可确定公切线．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+6x-6a，由f'（-1）=0，即3a-6-6a=0，得a=-2，
∴f（x）=-2x³+3x²+12x-11．
令f'（x）=-6x²+6x+12=0，解得x=-1或x=2
当x变化时，f'（x），f（x）在区间（-2，3）上的变化情况如下表：

x	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	-18	单调递增	9	单调递减

从上表可知，当x=-1时，f（x）在区间（-2，3）上有极小值，极小值为-18，
当x=2时，f（x）在区间（-2，3）上有极大值，极大值为9；
（2）∵直线m恒过点（0，9）．
先求直线m是y=g（x） 的切线．设切点为(x0，3x02+6x0+12)，
∵g'（x₀）=6x₀+6．
∴切线方程为y-(3x02 +6x0+12)=(6x0+6)(x-x0)，
将点（0，9）代入得x₀=±1．
当x₀=-1时，切线方程为y=9； 当x₀=1时，切线方程为y=12x+9．
由f'（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1，x=2
当x=-1时，y=f（x）的切线y=-18，
当x=2时，y=f（x）的切线方程为y=9，
∴y=9是公切线，
又由f'（x）=12得-6x²+6x+12=12
∴x=0或x=1，
当x=0时y=f（x）的切线为y=12x-11；
当x=1时y=f（x）的切线为y=12x-10，
∴y=12x+9不是公切线．
综上所述 k=0时y=9是两曲线的公切线．

点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义：导数在某点的导数值即为改点的切线的斜率，函数的导数在函数的单调性、函数的极值求解中的应用．属于函数的导数知识的综合应用．