Question

18．已知函数f（x）=sin²x+asinx+3-a，x∈[0，π]．
（1）求f（x）的最小值g（a）；
（2）若f（x）在[0，π]上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的值域，二次函数的性质，分类讨论，求得f（x）的最小值g（a）．
（2）由题意可得sinx≠1，a=$\frac{{sin}^{2}+3}{1-sinx}$，令t=sinx∈[0，1），则a=$\frac{{t}^{2}+3}{1-t}$，显然函数a在t∈[0，1）上单调递增，由此可得a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin²x+asinx+3-a=${（sinx+\frac{a}{2}）}^{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+3-a，
∵x∈[0，π]，∴sinx∈[0，1]，
当-$\frac{a}{2}$＜0时，即a＞0时，则sinx=0时，f（x）取得最小值g（a）=3-a；
当0≤-$\frac{a}{2}$≤1时，即-2≤a≤0时，则sinx=-$\frac{a}{2}$时，f（x）取得最小值g（a）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+3-a；
当-$\frac{a}{2}$＞1时，即a＜-2时，则sinx=1时，f（x）取得最小值g（a）=4．
综上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3-a，a＞0}\\{-\frac{{a}^{2}}{4}+3-a，-2≤a≤0}\\{4，a＜-2}\end{array}\right.$．
（2）∵x∈[0，π]，∴sinx∈[0，1]，由f（x）=0，可得sin²x+3=（1-sinx）•a，
当sinx=1时，此等式不成立．
故有sinx≠1，a=$\frac{{sin}^{2}+3}{1-sinx}$，
令t=sinx∈[0，1），则a=$\frac{{t}^{2}+3}{1-t}$，显然函数a在t∈[0，1）上单调递增，
故当t=0时，a=3；当t趋于1时，a趋于正无穷大，故a≥3．

点评 本题考查三角函数的值域，考查了二次函数最值的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．