分析 (1)设双曲线的方程为:x2-4y2=m(≠0),把点(3,$\sqrt{2}$)代入双曲线方程即可得出.
(2)由题意可得:直线l的斜率存在且不为0,则可设l的方程为:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),可得Q$(-\frac{1}{k},0)$.
由$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{QA}$,可得:A点坐标,代入在双曲线上,整理可得:(1-k2)λ2+2λ+1-4k2=0,同理可得:(1-k2)μ2+2μ+1-4k2=0,可把λ,μ看作二次方程:(1-k2)x2+2x+1-4k2=0的两个实数根,利用λ•μ=$\frac{1-4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$=-5时,解得k即可得出.
解答 解:(1)设双曲线的方程为:x2-4y2=m(≠0),把点(3,$\sqrt{2}$)代入双曲线方程可得:x2-4y2=1.
(2)由题意可得:直线l的斜率存在且不为0,则可设l的方程为:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),可得Q$(-\frac{1}{k},0)$.
由$\overrightarrow{PQ}$=λ$\overrightarrow{QA}$,可得:$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1}{k}-\frac{1}{λk}}\\{{y}_{1}=-\frac{1}{λ}}\end{array}\right.$,∵A在双曲线上,∴$(-\frac{1}{k}-\frac{1}{λk})^{2}$-4$(-\frac{1}{λ})^{2}$=1,整理可得:(1-k2)λ2+2λ+1-4k2=0,同理可得:(1-k2)μ2+2μ+1-4k2=0,
若1-k2=0,则直线l经过顶点,舍去,∴1-k2≠0.
可把λ,μ看作二次方程:(1-k2)x2+2x+1-4k2=0的两个实数根,
∴λ•μ=$\frac{1-4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$=-5时,解得k2=$\frac{2}{3}$.
此时△>0,∴k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$,则直线方程为:y═±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x+1.
点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、向量运算性质、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
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A. | $\frac{2\sqrt{2}}{3}$+1 | B. | 2$\sqrt{3}$ | C. | 2 | D. | 2$\sqrt{2}$+3 |
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