Question

7．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y-2=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数得f′（x）=$\frac{a}{x}$+b，由导数几何意义得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=$\frac{1}{2}$，且f（1）=$\frac{1}{2}$，联立求得a=1，b=-$\frac{1}{2}$，从而确定f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式等价于lnx-$\frac{x}{2}$+$\frac{k}{x}$＜0，参变分离为k＜$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx，利用导数求右侧函数的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+b．
∵直线x-2y-2=0的斜率为$\frac{1}{2}$，且曲线y=f（x）过点（1，-$\frac{1}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-\frac{1}{2}}\\{f′（1）=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{1}{2}}\\{a+b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$解得a=1，b=-$\frac{1}{2}$．
所以f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x；                                
（Ⅱ）由（Ⅰ）得当x＞1时，f（x）+$\frac{k}{x}$＜0恒成立即lnx-$\frac{x}{2}$+$\frac{k}{x}$＜0，等价于k＜$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx．
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx，则g′（x）=x-1-lnx．
令h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$．
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0．
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=$\frac{1}{2}$．
因此，当x＞1时，k＜$\frac{{x}^{2}}{2}$-xlnx恒成立，则k≤$\frac{1}{2}$．
∴k的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，及恒成立问题的应用，属于中档题．