Question

如图，已知⊙O的半径为1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是半圆上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC两侧．
（1）若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数；
（2）求四边形OPDC面积的最大值？

Answer 1

分析：（1）先利用余弦定理求出PC的值，再将四边形OPDC的面积分解成两个三角形的面积的和，从而得到y关于θ的函数；
（2）由（1）知y=2sin(θ-

π

3

)+

5 3

4

，利用三角函数的值域可求最值．

解答：

解：(1)在△OPC中，由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP•OC•cosθ        =1+4-4cosθ=5-4cosθ. y=S△OPC+S△PDC   = 1 2 •OP•OC•sinθ+ 3 4 PC2   =sinθ- 3 cosθ+ 5 3 4 (0＜θ＜π)…7分

(2)y=sinθ- 3 cosθ+ 5 3 4  =2sin(θ- π 3 )+ 5 3 4

，
∴当θ=

5π

6

时，y max=2+

5 3

4

点评：本题将三角函数与解三角形结合起来，关键是利用余弦定理求边，再求面积，三角函数求最值应注意角的范围．