【题目】
已知
， 
，函数
.
（Ⅰ）当
， 
时，解关于
的不等式
；
（Ⅱ）若函数
的最大值为2，求证： 
.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）见解析
【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意可得
.零点分段求解不等式可得不等式的解集为
；
(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得
，则
.由均值不等式的结论可得
，当且仅当
时，等号成立.
证法二：由题意可得
，零点分段可得
，结合函数图像可得
.由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的结论.
试题解析：
（Ⅰ）当
时， 
.
不等式
为
.
①当
时，因为不等式为
，所以不等式成立，
此时符合；符合要求的不等式的解集为
；
②当
时，因为不等式为
，所以
，
此时，符合不等式的解集为
；
③当
时，因为不等式为
不成立，解集为空集；
综上所述，不等式
的解集为
.
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得
， 
， 
∴
.
∴
，
当且仅当
时，等号成立.
另解：（Ⅱ）因为
， 
，所以
，
所以函数
，
所以函数
的图象是左右两条平行于
轴的射线和中间连结成的线段，
所以函数的最大值等于
，所以
.
∵
，
∴
.
或者
，
当且仅当
，即
时，“等号”成立.
百年学典课时学练测系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆E： 
的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（1）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
（2）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某大学社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，在该校随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：
根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :
学习时间 (分钟/天) |
|
|
|
等级 | 一般 | 爱好 | 痴迷 |
(Ⅰ) 求
的值；
(Ⅱ) 从该大学的学生中随机选出一人，试估计其“爱好”中华诗词的概率；
(Ⅲ) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试估计样本中40名学生每人每天学习“中华诗词”的时间．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，已知曲线
，以平面直角坐标系
的原点
为极点， 
轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线
.
（1）将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
倍、2倍后得到曲线
.试写出直线
的直角坐标方程和曲线
的参数方程；
（2）在曲线
上求一点
，使点
到直线
的距离最大，并求出此最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示的自动通风设施.该设施的下部
是等腰梯形，其中
为2米，梯形的高为1米， 
为3米，上部
是个半圆，固定点
为
的中点. 
是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和
平行.当
位于
下方和上方时，通风窗的形状均为矩形
（阴影部分均不通风）.
（1）设
与
之间的距离为
（
且
）米，试将通风窗的通风面积
（平方米）表示成关于
的函数
；
（2）当
与
之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积
取得最大值？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆
的极坐标方程为： 
.若以极点
为原点，极轴所在直线为
轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求圆
的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点
是圆
上动点，试求
的最大值，并求出此时点
的直角坐标.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
有极值，且在
处的切线与直线
垂直．
（1）求实数
的取值范围；
（2）是否存在实数
，使得函数
的极小值为
．若存在，求出实数
的值；若不存在，请说明理由．
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