Question

13．对任意的x₁＜0＜x₂，若函数f（x）=a|x-x₁|+b|x-x₂|的图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），则实数a、b应满足的条件是（　　）

• A． a+b=0且a-b＞0
• B． a+b=0且a-b＜0
• C． a-b=0且a+b＞0
• D． a-b=0且a+b＜0．

Answer 1

分析 将f（x）化为分段函数，逐段与图象对应，根据图象在各段上的变化规律：常数函数、正比例函数、常数函数确定解析式的各项系数．找出共同条件．

解答 解：当x≤x₁时，f（x）=-a（x-x₁）-b（x-x₂）=-（a+b）x+（ax₁+bx₂）   由图可知$\left\{\begin{array}{l}{a+b=0，①}\\{a{x}_{1}+b{x}_{2}＜0，②}\end{array}\right.$
当x₁＜0＜x₂时，f（x）=a（x-x₁）-b（x-x₂）=（a-b）x-ax₁+bx₂  由图可知$\left\{\begin{array}{l}{a-b＞0，①′}\\{-a{x}_{1}+b{x}_{2}=0，②′}\end{array}\right.$
当x≥x₂时，f（x）=a（x-x₁）+b（x-x₂）=（a+b）x-（ax₁+bx₂） 由图又可得出①②两式．
由 ①，①′两式可得a=-b＞0，同时使得②，②′成立．
故实数a、b应满足的条件是：a＞0且a+b=0 （或a=-b＞0），
故选：A．

点评 本题考查绝对值函数的图象，以及识图能力、逆向思维能力．