Question

给出定义：若m-

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＜x≤m+

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2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个判断：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-

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，

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2

]；
②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（

1

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，

3

2

]上是增函数．
则上述判断中正确的序号是

 

．（填上所有正确的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；根据f（2k-x）与f（x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于点（k，0）（k∈Z）对称；再判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；而由①的结论，易判断函数y=f（x）在 （

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2

，

3

2

]上的单调性，但要说明④成立．

解答： 解：①中，令x=m+a，a∈（-

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，

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]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-

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，

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]
所以①正确；
②中∵f（2k-x）=（2k-x）-{2k-x}=（-x）-{-x}=f（-x）
∴点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；
③中，∵f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{x}=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，令x∈（

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，

3

2

]，m=1，则a∈（-

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，

1

2

]，
f（x）=a，由区间（

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，

3

2

]上，随x的增大而增大，故f（x）在区间（

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，

3

2

]上为增函数，
所以④正确．
故答案为：①③④

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数f（x）=x-{x}的性质，难度中档．