Question

【题目】如图，设为内一点，直线、、与边、、分别交于点、、．设分别以、为直径的两圆交于点、，分别以、为直径的两圆交于点、，分别以、为直径的两圆交于点、．证明：、、、、、六点共圆．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

首先证明：、、三线共点于，其中，为的垂心．

如图，作于点，于点，于点．

则、、共点于，即的垂心．

由，知以、为直径的圆均过点、．故为两圆根轴．

类似地，以、为直径的圆均过点、，为两圆根轴；以、为直径的圆均过点、，为两圆根轴．

由根心定理，知、、三线共点，且与交于点．

故过点．

由、、、四点共圆．

类似地，、均过点，有，．

又，故、、、四点共圆于，、、、四点共圆于，、、、四点共圆于．

如图，设、、的中点分别为、、，、、的中点分别为、、．

其次证明：、、三线共点．

因为，，所以，为的中垂线．

类似地，为的中垂线，为的中垂线．

故为与的交点，为与的交点，为与的交点．

又、、共点于，由塞瓦定理得．

再由塞瓦定理的逆定理，知、、三线共点．

因此，、、三点重合．

故、、、、、六点共圆．