Question

某数学兴趣小组对偶函数f（x）的性质进行研究，发现函数f（x）在定义域R上满足f（x+2）=f（x）+f（1），且在区间[0，1]上为增函数，在此基础上，本组同学得出如下结论：
①函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
②函数y=f（x）的周期为2；
③当x∈[-3，-2]时，f′（x）≥0；
④函数y=f（x）的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点．其中正确结论的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：①先确定f（1）=f（-1）=0，从而f（x+2）=f（x），利用f（x）为偶函数，可得f（1+x）=f（1-x）；
②根据f（x+2）=f（x），可知f（x） 的周期为2；
③由f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）为偶函数可推知f（x）在[-1，0]上单调递减；又因为f（x）是周期为2的函数，所以f（x）在[-1+2k，2k]k∈Z上单调递减，从而f（x）在[-3，-2]上单调递减，故f′（x）≤0；
④根据R上的偶函数在区间[0，1]上为增函数，可知0是函数的极小值点，根据f（x） 的周期为2，可知函数y=f（x）的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点，
故可得结论．
解答：解：①，f（-1+2）=f（-1）+f（1），∴f（-1）=0，又知f（x）为偶函数，
∴f（1）=f（-1）=0，∴f（x+2）=f（x）
∵f（x）为偶函数，∴f（x+2）=f（-x），∴f（1+x）=f（1-x），
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故①正确；
②，根据f（x+2）=f（x），可知f（x） 的周期为2，故②正确；
③，由f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）为偶函数可推知f（x）在[-1，0]上单调递减；
又因为f（x）是周期为2的函数，所以f（x）在[-1+2k，2k]k∈Z上单调递减，从而f（x）在[-3，-2]上单调递减，故f′（x）≤0，所以③不正确；
④，根据R上的偶函数在区间[0，1]上为增函数，可知0是函数的极小值点，根据f（x） 的周期为2，可知函数y=f（x）的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点，所以④正确
故正确结论的序号是①②④
故答案为：①②④
点评：本题综合考查偶函数的性质，考查函数的周期性，函数的对称性，合理运用条件进行转化是解题的关键．