Question

（2012•浙江模拟）关于x的方程2cos²x-sinx+a=0在区间[0，

7π

6

]上恰好有两个不等实根，则实数a的取值范围是

（-

17

8

，-2）∪（-2，1）

．

Answer 1

分析：令t=sinx，当x∈[π，

7π

6

]时，x与t一一对应，由题意可得直线y=a和曲线y=2t²+t-2在[-

1

2

，1]上有两个交点，由此求得a的范围． 当x∈（0，π），且x≠

π

2

时，有2个x与一个t值对应，直线y=a和曲线y=2t²+t-2在[-

1

2

，1）上有一个交点，结合图象求出实数a的取值范围． 再把以上2个a的取值范围取并集，即得所求．

解答：解：由题意，方程可变为a=-2cos²x+sinx，令t=sinx，
由0＜x≤

7π

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，可得 t∈[-

1

2

，1]．
①当x∈[π，

7π

6

]时，t∈[-

1

2

，0]，此时，x与t一一对应．
由题意可得，关于t的方程a=2t²+t-2，当t∈[-

1

2

，0]应有2个实数根，
即直线y=a和函数y=2t²+t-2，当t∈[-

1

2

，0]应有2个交点．
当t=-

1

4

时，y=2t²+t-2有最小值-

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． 当t=-

1

2

或0时，a=2t²+t-2=-2．
此时，应有 a∈（-

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，-2]．
但当a=-2时，t=-

1

2

或0，在区间[0，

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6

]上，对应x=0 或π或

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6

，
关于x的方程2cos²x-sinx+a=0在区间[0，

7π

6

]上有3个实数根，
故不满足条件，应舍去，故 a∈（-

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，-2）．
②当x∈（0，π），且x≠

π

2

时，有2个x与一个t值对应．
故由题意可得，关于t的方程a=2t²+t-2，当t∈（0，1）有一个实数根，
即直线y=a和曲线y=2t²+t-2在（0，1）上有一个交点，如图所示：
此时，a∈（-2，1）．
综上可得，实数a的取值范围是 （-

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，-2）∪（-2，1），
故答案为  （-

17

8

，-2）∪（-2，1）．

点评：本题的考点是复合函数的单调性，考查根据复合三角函数的单调性求值域，本题求参数范围的题转化为求函数的值域是解此类题的常用技巧，属于中档题．