Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax2（a∈R）．
（1）若g（x）= 有三个极值点x1 ， x2 ， x，求a的取值范围；
（2）若f（x）≥﹣ax3+1对任意x∈[0，1]都恒成立的a的最大值为μ，证明：5 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）= ，定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），

g′（x）= ，∵g′（0）=0，

只需h（x）=ex﹣ax﹣2a=0应有两个既不等于0也不等于﹣1的根，h′（x）=ex﹣a，

①当a≤0时，h′（x）＞0，∴h（x）单增，h（x）=0最多只有一个实根，不满足；

②当a＞0时，h′（x）=ex﹣a=0x=lna，

当x∈（﹣∞，lna）时，h′（x）＜0，h（x）单减；

当x∈（lna，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单增；∴h（x0）是h（x）的极小值，

而x→+∞时，h（x）→+∞，x→﹣∞时，h（x）→+∞，

要h（x）=0有两根，只需h（lna）＜0，

由h（lna）=elna﹣alna﹣2a＜0﹣alna﹣a＜0lna＞﹣1a＞

又由h（0）=1﹣2a≠0a≠ ，

反之，若a a 且时，则h（﹣1）= ，h（x）=0的两根中，一个大于﹣1，另一个小于﹣1．

在定义域中，连同x=0，g′（x）=0共有三个相异实根，

且在三根的左右，g′（x）正负异号，它们是g（x）的三个极值点．

综上，a的取值范围为（ ， ）

（2）证明： f（x）≥﹣ax3+1对任意x∈[0，1]都恒成立

ex﹣ax2≥﹣ax3+1ex﹣1≥a（x2﹣x3）对x∈[0，1]恒成立，

①当x=0或1时，a∈R均满足；

②ex﹣1≥a（x2﹣x3）对x∈（0，1）恒成立a≤ 对x∈（0，1）恒成立，

记u（x）= ，x∈（0，1），则（a）max=μ=（ ）min，x∈（0，1），

欲证5 5＜（ ）min＜ ，

而 ，

只需证明 ，显然成立．

下证： ，

先证： ， ，

令 ， ，

∴v'（x）在（0，1）上单增，v″（x）＞v″（0）=0，

∴v'（x）在（0，1）上单增，∴v′（x）＞v′（0）=0，∴v′（x）在（0，1）上单增，

∴v（x）＞v（0）=1，即证．

要证：ex＞5x2﹣5x3+1，x∈（0，1），

只需证1+x+ + ≥5x2﹣5x3+1，x（0，1）

31x3﹣27x2+6x≥0x（31x2﹣27x+6）≥031x2﹣27x+6≥0，x∈（0，1）

而△=272﹣4×31×6=﹣15＜0，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立

【解析】1、由已知求导可得h′（x）=ex﹣a，利用导数可求出函数的极值，进而得到h（x0）是h（x）的极小值。
2、利用导数求闭区间上函数的最值。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．