Question

在平面直角坐标系中，已知曲线C上任意一点P到两个定点F1(-

3

，0)和F2(

3

，0)的距离之和为4．
（1）求曲线C的方程；
（2）设过（0，-2）的直线l与曲线C交于A、B两点，以线段AB为直径作圆．试问：该圆能否经过坐标原点？若能，请写出此时直线l的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义即可求出；
（2）先假设符合条件的直线l存在，一方面可利用

OA

•

OB

=0；另一方面把直线的方程与椭圆的方程联立，在△＞0的条件下可利用根与系数的关系得到关系式，进而即可得出答案．

解答：解：（1）根据椭圆的定义，可知动点P的轨迹为椭圆，
其中a=2，c=

3

，则b=

a2-c2

=1．
所以动点P的轨迹方程为

x2

4

+y2=1．
（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若

OA

•

OB

=0，则x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，∴y1y2=k2x1•x2-2k(x1+x2)+4．
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0．…①
由方程组

x2 4 +y2=1 y=kx-2

得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
∵△=16²k²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k2＞

3

4

…②
则x1+x2=

16k

1+4k2

，x1•x2=

12

1+4k2

，代入①，得(1+k2)

12

1+4k2

-2k

16k

1+4k2

+4=0．即k²=4，解得k=2或k=-2，满足②式．
因此存在直线l，其方程为y=2x-2或y=-2x-2．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义与性质、两条垂直的充要条件、直线方程与圆锥曲线方程相交问题的处理方法是解题的关键．