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在平面直角坐标系中,已知曲线C上任意一点P到两个定点F1(-
3
,0)
F2(
3
,0)
的距离之和为4.
(1)求曲线C的方程;
(2)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A、B两点,以线段AB为直径作圆.试问:该圆能否经过坐标原点?若能,请写出此时直线l的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
分析:(1)利用椭圆的定义即可求出;
(2)先假设符合条件的直线l存在,一方面可利用
OA
OB
=0;另一方面把直线的方程与椭圆的方程联立,在△>0的条件下可利用根与系数的关系得到关系式,进而即可得出答案.
解答:解:(1)根据椭圆的定义,可知动点P的轨迹为椭圆,
其中a=2,c=
3
,则b=
a2-c2
=1

所以动点P的轨迹方程为
x2
4
+y2=1

(2)当直线l的斜率不存在时,不满足题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),
OA
OB
=0
,则x1x2+y1y2=0.
∵y1=kx1-2,y2=kx2-2,∴y1y2=k2x1x2-2k(x1+x2)+4
∴(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0.…①
由方程组
x2
4
+y2=1
y=kx-2
得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
∵△=162k2-4×12×(1+4k2)>0,∴k2
3
4
…②
x1+x2=
16k
1+4k2
x1x2=
12
1+4k2
,代入①,得(1+k2)
12
1+4k2
-2k
16k
1+4k2
+4=0
.即k2=4,解得k=2或k=-2,满足②式.
因此存在直线l,其方程为y=2x-2或y=-2x-2.
点评:熟练掌握圆锥曲线的定义与性质、两条垂直的充要条件、直线方程与圆锥曲线方程相交问题的处理方法是解题的关键.
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π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

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π
2
,且α+β=
2
3
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