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16.设$f(x)={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+5$,当x∈[1,2]时,f(x)-m<0恒成立,求实数m的取值范围.

分析 先求出f(x)的导数,令其大于0,求出函数的增区间,令导数小于0求出函数的减区间,得到当x∈[1,2]时,f(x)递增,f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围即求函数f(x)的最大值在x=2处取,求出f(2)=7.可得m>7.

解答 解:f′(x)=3x2-x-2=0,得x=1,-$\frac{2}{3}$.
在(-∞,-$\frac{2}{3}$)和[1,+∞)上f′(x)>0,f(x)为增函数;
在(-$\frac{2}{3}$,1)上f′(x)<0,f(x)为减函数.
所以所求f(x)的单调增区间为(-∞,-$\frac{2}{3}$]和[1,+∞),单调减区间为[-$\frac{2}{3}$,1].
当x∈[1,2]时,f′(x)>0,
∴f(x)为增函数,
∴f(x)≤f(2)=7.
∴m>7时,对任意的x∈[1,2],f(x)<m恒成立,
故实数m的取值范围是m>7.

点评 本题考查用导数求函数的单调性及最值,这是导数的重要运用.

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