Question

16．设$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+5$，当x∈[1，2]时，f（x）-m＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先求出f（x）的导数，令其大于0，求出函数的增区间，令导数小于0求出函数的减区间，得到当x∈[1，2]时，f（x）递增，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围即求函数f（x）的最大值在x=2处取，求出f（2）=7．可得m＞7．

解答 解：f′（x）=3x²-x-2=0，得x=1，-$\frac{2}{3}$．
在（-∞，-$\frac{2}{3}$）和[1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在（-$\frac{2}{3}$，1）上f′（x）＜0，f（x）为减函数．
所以所求f（x）的单调增区间为（-∞，-$\frac{2}{3}$]和[1，+∞），单调减区间为[-$\frac{2}{3}$，1]．
当x∈[1，2]时，f′（x）＞0，
∴f（x）为增函数，
∴f（x）≤f（2）=7．
∴m＞7时，对任意的x∈[1，2]，f（x）＜m恒成立，
故实数m的取值范围是m＞7．

点评 本题考查用导数求函数的单调性及最值，这是导数的重要运用．