Question

17．已知函数f（x）=e^x-kx²，x∈R．
（1）若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，求k的取值范围；
（2）①当k=$\frac{1}{2}$，x∈（0，+∞）时，求证：f（x）＞1；
②求证：（$\frac{2}{{1}^{4}}$+1）（$\frac{2}{{2}^{4}}$+1）（$\frac{2}{{3}^{4}}$+1）…（$\frac{2}{{n}^{4}}$+1）＜e⁴（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，等价于f′（x）=e^x-2kx≥0（x＞0）恒成立，分k≤0，0＜k≤$\frac{1}{2}$，k＞$\frac{1}{2}$三种情况进行讨论，前两种情况易作出判断，k＞$\frac{1}{2}$时，利用导数求出最值解不等式即可；
（2）①k=$\frac{1}{2}$时，利用导数可判断f（x）在（0，+∞）上单调递增，从而可得f（x）＞f（0）=1；
②由（1）知，对于x∈（0，+∞），有f（x）=e^x＞$\frac{1}{2}$x²+1，则e^2x＞2x²+1，ln（2x²+1）＜2x，从而有ln（$\frac{2}{{n}^{4}}$+1）＜$\frac{2}{{n}^{2}}$（n∈N*），从而证出结论．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2kx，下求使f′（x）≥0（x＞0）恒成立的k的取值范围．
若k≤0，显然f′（x）＞0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
记φ（x）=e^x-2kx，则φ′（x）=e^x-2k，
当0＜k≤$\frac{1}{2}$时，∵e^x＞e⁰=1，2k≤1，∴φ′（x）＞0，则φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
于是f′（x）=φ（x）＞φ（0）=1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当k＞$\frac{1}{2}$时，φ（x）=e^x-2kx在（0，ln2k）上单调递减，在（ln2k，+∞）上单调递增，
于是f′（x）=φ（x）≥φ（ln2k）=e^ln2k-2kln2k，
由e^ln2k-2kln2k≥0，得2k-2kln2k≥0，则$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{e}{2}$，
综上，k的取值范围为（-∞，$\frac{e}{2}$]．
（2）①f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²，则h（x）=f′（x）=e^x-x，
∴h′（x）=e^x-1＞0（x＞0），
∴h（x）=f′（x）在（0，+∞）上递增，∴f′（x）＞f′（0）=1＞0，
∴f（x）=e^x-$\frac{1}{2}$x²在（0，+∞）上单调递增，
故f（x）＞f（0）=1．
②由①知，对于x∈（0，+∞），有f（x）=e^x＞$\frac{1}{2}$x²+1，∴e^2x＞2x²+1，
则ln（2x²+1）＜2x，从而有ln（$\frac{2}{{n}^{4}}$+1）＜$\frac{2}{{n}^{2}}$（n∈N*），
于是：ln（$\frac{2}{{1}^{4}}$+1）+ln（$\frac{2}{{2}^{4}}$+1）+ln（$\frac{2}{{3}^{4}}$+1）+…+ln（$\frac{2}{{n}^{4}}$+1）
＜$\frac{2}{{1}^{2}}$+…+$\frac{2}{{n}^{2}}$＜$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{2}{1×2}$+…+$\frac{2}{（n-1）×n}$
=2+2（1-$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=4-$\frac{2}{n}$＜4，
故：（$\frac{2}{{1}^{4}}$+1）（$\frac{2}{{2}^{4}}$+1）（$\frac{2}{{3}^{4}}$+1）…（$\frac{2}{{n}^{4}}$+1）＜e⁴．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及不等式证明等知识，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，对能力要求很高．