Question

7．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别a，b，c，f（x）=2sinxcos（x+A）+sin（B+C）（x∈R），函数f（x）的图象关于点$（{\frac{π}{3}，0}）$对称．
（I）求A；
（II）若b=6，△ABC的面积为$6\sqrt{3}$，求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两角和的正余弦公式及二倍角的公式进行化简，便可得出f（x）=sin（2x+A），根据f（x）的图象关于点$（\frac{π}{3}，0）$对称，即可得出$f（\frac{π}{3}）=0$，从而求出A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由三角形的面积公式即可求出c=4，由余弦定理即可求出a，及cosC的值，然后进行数量积的计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcos（x+A）+sin（B+C）
=2sinx（cosxcosA-sinxsinA）+sinA
=2sinxcosxcosA-2sin²xsinA+sinA
=sin2xcosA+cos2xsinA
=sin（2x+A）；
因为函数f（x）的图象关于点$（\frac{π}{3}，0）$对称；
所以$f（\frac{π}{3}）=0$；
即$sin（\frac{2π}{3}+A）=0$，又∵0＜A＜π；
∴$\frac{2π}{3}+A=π$；
∴$A=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵b=6，△ABC的面积为$6\sqrt{3}$；
∴$\frac{1}{2}•6csin\frac{π}{3}=6\sqrt{3}$；
∴c=4；
∴${a}^{2}={6}^{2}+{4}^{2}-2•6•4cos\frac{π}{3}=28$；
∴$a=2\sqrt{7}$，$cosC=\frac{{{{（2\sqrt{7}）}^2}+{6^2}-{4^2}}}{{2×2\sqrt{7}×6}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=6×2\sqrt{7}cos（π-C）=12\sqrt{7}×（-\frac{{2\sqrt{7}}}{7}）=-24$．

点评 考查两角和的正余弦公式，二倍角公式，函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，以及三角形面积公式，余弦定理，数量积的计算公式．