Question

13、已知函数f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上有f′（x）＞0，若f（-1）=0，那么关于x的不等式x f（x）＜0的解集是

（-∞，-1）∪（0，1）

．

Answer 1

分析：函数f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上有f′（x）＞0，若f（-1）=0，可得出函数的单调性与函数图象与x轴交点的坐标，作出函数的示意图，由图象出关于x的不等式x f（x）＜0的解集．

解答：解：函数f（x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上有f′（x）＞0，
故函数在（0，+∞）上是增函数，在（-∞，0）上是减函数，
又f（-1）=0，故f（1）=0，函数图象如图
由图象知关于x的不等式x f（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）
故答案为（-∞，-1）∪（0，1）

点评：考查偶函数的性质及图象，本题解不等式的解集由于函数图象的特征易得，故作出函数的图象，由图象观察出不等式的解集，本题是函数的奇偶性与单调性想结合解题的一个典型题．