Question

17．已知函数f（x）=$\frac{5}{2}ln（{x^2}+1）-2x$．
（Ⅰ）求此函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{5}{2}ln\frac{x}{{{x^2}+1}}$+f（x）+2x．是否存在直线y=kx（k∈R）与函数g（x）的图象相切？若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用导数的正负，即可求此函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）假设存直线y=kx与函数g（x）的图象相切于点（x₀，f（x₀））（x₀＞0），则这条直线可以写成y-g（x₀）=g'（x₀）（x-x₀），与直线y=kx比较，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{5}{2}ln（{x^2}+1）-2x$，
∴$f'（x）=\frac{5x}{{{x^2}+1}}-2$=$-\frac{{2{x^2}-5x+2}}{{{x^2}+1}}$=$-\frac{（2x-1）（x-2）}{{{x^2}+1}}$．…（2分）
令f'（x）≥0，得$-\frac{（2x-1）（x-2）}{{{x^2}+1}}≥0$，解之，得$\frac{1}{2}≤x≤2$；…（3分）
令f'（x）＜0，得$-\frac{（2x-1）（x-2）}{{{x^2}+1}}＜0$，解之，得$x＜\frac{1}{2}$，或x＞2．…（4分）
∴函数f（x）的单调递增区间是$[\frac{1}{2}，2]$，单调递减区间是$（-∞，\frac{1}{2}）$和（2，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）∵$f（x）=\frac{5}{2}ln（{x^2}+1）-2x$，$g（x）=\frac{5}{2}ln\frac{x}{{{x^2}+1}}+f（x）+2x$，
∴$g（x）=\frac{5}{2}ln\frac{x}{{{x^2}+1}}+\frac{5}{2}ln（{x^2}+1）-2x+2x=\frac{5}{2}lnx$．
∴$g'（x）=\frac{5}{2x}$．…（6分）
假设存直线y=kx与函数g（x）的图象相切于点（x₀，f（x₀））（x₀＞0），
则这条直线可以写成y-g（x₀）=g'（x₀）（x-x₀）．…（7分）
∵$g（{x_0}）=\frac{5}{2}ln{x_0}$，$g'（{x_0}）=\frac{5}{{2{x_0}}}$，
∴$y-\frac{5}{2}ln{x_0}=\frac{5}{{2{x_0}}}（x-{x_0}）$．…（8分）
即$y=\frac{5}{{2{x_0}}}x+\frac{5}{2}ln{x_0}-\frac{5}{2}$．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{{2{x_0}}}}\\{\frac{5}{2}ln{x_0}-\frac{5}{2}=0}\end{array}}\right.$…（9分）
解之，得$\left\{{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{2e}}\\{{x_0}=e}\end{array}}\right.$
∴存在直线y=kx与函数g（x）的图象相切，k的值是$\frac{5}{2e}$．…（10分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．