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已知关于x的实系数一元二次方程ax2+bx+c=0有两个虚根x1,x2,且(1-3ai)i=c-
ai
(i为虚数单位),|x1-x2|=1,求实数b的值、
分析:化简(1-3ai)i=c-
a
i
,利用复数相等,求出a,c,代入一元二次方程ax2+bx+c=0,求出两个虚根x1,x2,代入|x1-x2|=1,求出b的值.
解答:解:由题设(1-3ai)i=c-
a
i
,即:-(1-3ai)=ci-a,得
1=a
3a=c
解得a=1,c=3,
代入方程x2+bx+3=0,求出两虚根为x1=
-b+
12-b2
i
2
x1=
-b-
12-b2
i
2

于是|x1-x2|=|
-b+
12-b2
i
2
-
-b-
12-b2
i
2
|=
12-b2

12-b2
=1
,得b=
11
b=-
11
点评:本题考查复数的基本概念,一元二次方程的根的分布与系数的关系,复数代数形式的乘除运算,复数求模,考查分析问题解决问题的能力,是中档题.
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1
2
1
2

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