Question

【题目】如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB=AD，BC=DC．

（1）求证：∥平面EFGH；

（2）求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行一般证明线线平行或面面平行，本题中利用中点产生的中位线得到的EH∥BD来证明 平面；（2）由四个中点可利用中位线性质证明四边形为平行四边形，利用等腰三角形三线合一的性质得到平面（BD中点为O）从而得到，所以四边形是矩形

试题解析：（1）∵E，H分别为AB， DA的中点．

∴EH∥BD，又平面EFGH，平面EFGH，

平面EFGH；

（2）取BD中点O，连续OA，OC．

∵AB=AD，BC=DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD，

又AO∩CO=0．∴BD⊥平面AOC．

∴BD⊥AC．

∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．

∴EH∥BD，且EH=BD；FG∥BD，且FG=BD，EF∥AC．

∴EH∥FG，且EH=FG．∴四边形EFGH是平行四边形．

∵AC⊥BD，又EF∥AC，EH∥BD．∴EF⊥EH．∴四边形EFGH为矩形