【题目】如图,设椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1 , F2 , 点D在椭圆上,DF1⊥F1F2 , =2 ,△DF1F2的面积为 . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),其中c2=a2﹣b2 , 由 =2 ,得|DF1|= = c,
从而 = |DF1||F1F2|= c2= ,故c=1.
从而|DF1|= ,由DF1⊥F1F2 , 得 = + = ,
因此|DF2|= ,
所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ,故a= ,b2=a2﹣c2=1,
因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1;
(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交,P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)是两个交点,
y1>0,y2>0,F1P1 , F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2 , 由圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1 , y1=y2 , |P1P2|=2|x1|,
由(Ⅰ)知F1(﹣1,0),F2(1,0),所以 =(x1+1,y1), =(﹣x1﹣1,y1),再由F1P1⊥F2P2 , 得﹣ + =0,
由椭圆方程得1﹣ = ,即3 +4x1=0,解得x1=﹣ 或x1=0.
当x1=0时,P1 , P2重合,此时题设要求的圆不存在;
当x1=﹣ 时,过P1 , P2 , 分别与F1P1 , F2P2垂直的直线的交点即为圆心C,设C(0,y0)
由F1P1 , F2P2是圆C的切线,知CP1⊥F1P1 , 得 =﹣1,而|y1|=|x1+1|= ,
故y0= ,
故圆C的半径|CP1|= = .
综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x2+ =
【解析】(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),依题意,可求得c=1,易求得|DF1|= = ,|DF2|= ,从而可得2a=2 ,于是可求得椭圆的标准方程;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交,P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)是两个交点,依题意,利用圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1 , y1=y2 , |P1P2|=2|x1|,由F1P1⊥F2P2 , 得x1=﹣ 或x1=0,分类讨论即可求得圆心及半径,从而可得的方程.
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【题目】已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14,且a1 , a3 , a7成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设Tn为数列{ }的前n项和,若Tn≤λan+1对n∈N*恒成立,求实数λ的最小值.
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【题目】在亚丁湾海域执行护航任务的中国海军“徐州”舰,在A处收到某商船在航行中发出求救信号后,立即测出该商船在方位角方位角(是从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)为45°、距离A处为10 n mile的C处,并测得该船正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度航行,“徐州”舰立即以21 n mile/h的速度航行前去营救.
(1)“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船?
(2)在营救时间最少的前提下,“徐州”舰应按照怎样的航行方向前进?(角度精确到0.1°,时间精确到1min,参考数据:sin68.2°≈0.9286)
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,b= sinB,且满足tanA+tanC= . (Ⅰ)求角C和边c的大小;
(Ⅱ)求△ABC面积的最大值.
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【题目】已知在直角坐标系中,曲线的方程是,直线经过点,倾斜角为,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线的极坐标方程和直线的参数方程;
(2)设直线与曲线相交于,两点,求的值.
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【题目】已知函数f(x)=xlnx+x(x﹣a)2(a∈R),若存在 ,使得f(x)>xf'(x)成立,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.(3,+∞)
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PD=,O为AC与BD的交点,E为棱PB上一点.
(1)证明:平面EAC⊥平面PBD;
(2)若PD∥平面EAC,求三棱锥P-EAD的体积.
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【题目】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: ,其中是仪器的月产量.(注:总收益=总成本+利润)
(1)将利润表示为月产量的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?
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