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【题目】如图,设椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1 , F2 , 点D在椭圆上,DF1⊥F1F2 =2 ,△DF1F2的面积为 . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在圆心在y轴上的圆,使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),其中c2=a2﹣b2 , 由 =2 ,得|DF1|= = c,
从而 = |DF1||F1F2|= c2= ,故c=1.
从而|DF1|= ,由DF1⊥F1F2 , 得 = + =
因此|DF2|=
所以2a=|DF1|+|DF2|=2 ,故a= ,b2=a2﹣c2=1,
因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1;
(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交,P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)是两个交点,

y1>0,y2>0,F1P1 , F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2 , 由圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1 , y1=y2 , |P1P2|=2|x1|,
由(Ⅰ)知F1(﹣1,0),F2(1,0),所以 =(x1+1,y1), =(﹣x1﹣1,y1),再由F1P1⊥F2P2 , 得﹣ + =0,
由椭圆方程得1﹣ = ,即3 +4x1=0,解得x1=﹣ 或x1=0.
当x1=0时,P1 , P2重合,此时题设要求的圆不存在;
当x1=﹣ 时,过P1 , P2 , 分别与F1P1 , F2P2垂直的直线的交点即为圆心C,设C(0,y0
由F1P1 , F2P2是圆C的切线,知CP1⊥F1P1 , 得 =﹣1,而|y1|=|x1+1|=
故y0=
故圆C的半径|CP1|= =
综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x2+ =
【解析】(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),依题意,可求得c=1,易求得|DF1|= = ,|DF2|= ,从而可得2a=2 ,于是可求得椭圆的标准方程;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆 +y2=1相交,P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)是两个交点,依题意,利用圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1 , y1=y2 , |P1P2|=2|x1|,由F1P1⊥F2P2 , 得x1=﹣ 或x1=0,分类讨论即可求得圆心及半径,从而可得的方程.

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