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如图(1),三棱锥P′-A′BC′中,P′A′⊥平面A′BC′,△A′BC′是正三角形,E是P′C′的中点:如图(2),三棱锥P-ACD中,PA⊥平面ACD,∠ACD=90°,∠DAC=30°,若△P′A′C′≌△PAC,现将两个三棱锥拼接成四棱锥P-ABCD,使得面P′A′C′与面PAC完全重合,在四棱锥P-ABCD中,解答以下问题:

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(I)求证:CD⊥AE;
(Ⅱ)当PA=AC=
3
时,求棱锥E-ABCD的体积.

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(I)证明:如图,由于P′A′⊥平面A′BC′,PA⊥平面ACD,∴A,B,C,D四点共面
∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD
∵AC⊥CD,PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC,
∵E是PC的中点,∴CD⊥AE
(II)∵E是PC的中点,
∴点E到平面ABCD的距离等于点P到平面ABCD的距离的一半
∴VE-ABCD=
1
2
VP-ABCD
∴SABCD=
1
2
AB•BC•sin60°+
1
2
AC•CD
=
5
4
3

∴VE-ABCD=
1
2
VP-ABCD=
1
2
×
1
3
×
5
3
4
×
3
=
5
8
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图(1),三棱锥P′-A′BC′中,P′A′⊥平面A′BC′,△A′BC′是正三角形,E是P′C′的中点:如图(2),三棱锥P-ACD中,PA⊥平面ACD,∠ACD=90°,∠DAC=30°,若△P′A′C′≌△PAC,现将两个三棱锥拼接成四棱锥P-ABCD,使得面P′A′C′与面PAC完全重合,在四棱锥P-ABCD中,解答以下问题:

(I)求证:CD⊥AE;
(Ⅱ)当PA=AC=
3
时,求棱锥E-ABCD的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图(1),三棱锥P′-A′BC′中,P′A′⊥平面A′BC′,△A′BC′是正三角形,E是P′C′的中点;如图(2),PA⊥平面ACD,∠ACD=90°,∠DAC=30°.若△P′A′C′≌△PAC,现将两个三棱锥拼接成四棱锥P-ABCD,使得面△P′A′C′与面PAC完全重合.解答下列问题:
(1)图(1)中,在边P′B上是否存在点F,使得FE∥平面A′BC′?若存在,说出F点位置;若不存在,说明理由;
(2)在四棱锥P-ABCD中,已知PA=AC=
3

    ①求证:CD⊥AE;
    ②求棱锥E-ABCD的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图(1),三棱锥P′-A′BC′中,P′A′⊥平面A′BC′,△A′BC′是正三角形,E是P′C′的中点;如图(2),PA⊥平面ACD,∠ACD=90°,∠DAC=30°.
若△P′A′C′≌△PAC,现将两个三棱锥拼接成四棱锥P-ABCD,使得面△P′A′C′与面PAC完全重合.解答下列问题:
(1)图(1)中,在边P′B上是否存在点F,使得FE∥平面A′BC′?若存在,说出F点位置;若不存在,说明理由;
(2)在四棱锥P-ABCD中,已知数学公式
①求证:CD⊥AE;
②求棱锥E-ABCD的体积.

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科目:高中数学 来源:2009-2010学年福建省三明市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

如图(1),三棱锥P′-A′BC′中,P′A′⊥平面A′BC′,△A′BC′是正三角形,E是P′C′的中点:如图(2),三棱锥P-ACD中,PA⊥平面ACD,∠ACD=90°,∠DAC=30°,若△P′A′C′≌△PAC,现将两个三棱锥拼接成四棱锥P-ABCD,使得面P′A′C′与面PAC完全重合,在四棱锥P-ABCD中,解答以下问题:

(I)求证:CD⊥AE;
(Ⅱ)当PA=AC=时,求棱锥E-ABCD的体积.

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