Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），过P（-a，0）作圆x²+y²=b²的切线，切点为A，B，若∠APB=120°，则椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，根据∠APB=120°，得∠APO=60°，由此能够得到a、b的关系，进一步得到椭圆C的离心率．

解答 解：如图，

∵∠APB=120°，∴∠APO=60°，
∴$\frac{b}{a}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．