Question

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益与投资成正比，其关系如图1所示；投资股票等风险型产品B的收益与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（收益与投资单位：万元）．
（1）分别将A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

Answer 1

分析：（1）设投资为x万元，A、B两产品获得的收益分别为f（x）、g（x）万元，由题意，f（x）=k₁x，g（x）=k2

x

，k₁，k₂≠0，x≥0，再由图象能求出A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式．
（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10-x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=

1

4

(10-x)+

5

4

x

，x≥0．利用换元法能求出怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，并能求出其最大收益为多少万元．

解答：解：（1）设投资为x万元，
A、B两产品获得的收益分别为f（x）、g（x）万元，
由题意，f（x）=k₁x，g（x）=k2

x

，k₁，k₂≠0，x≥0，
又由图知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得k1=

1

4

，k₂=

5

4

，
∴f（x）=

1

4

x，x≥0．g（x）=

5

4

x

，x≥0．（不写定义域扣1分）
（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10-x）万元，
记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，
则y=

1

4

(10-x)+

5

4

x

，x≥0．
设

x

=t，则x=t²，0≤t≤

10

．
∴y=-

1

4

(t-

5

2

)2+

65

16

，
当t=

5

2

，也即x=

25

4

时，y取最大值

65

16

．
答：对股票等风险型产品B投资

25

4

万元，对债券等稳键型产品A投资

15

4

万元时，
可获最大收益

65

16

万元．（答（1分），单位（1分） ）

点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．