Question

【题目】已知，令求能取到的不同的整数值的个数.

Answer 1

【答案】1005

【解析】

因为，，

所以，.

设和式中有个，个，个1.则，且.

故 .

若为整数，则.此时，

.

（1）当时，中至少有1007个，1007个，即至少有2014个数，矛盾.

当时，中至少有1006个，1006个.

（i）中有1006个，1007个.

由于中有1005个，则这1006个在中连在一起，

即，

，

，

其中，.故

.

（ii）中有1007个，1006个.类似有，

，

，

，

其中，.

综合（i）、（ii），共有2012个，使取最大值6032.

（2）用数学归纳法证明：当时，存在使得.

当时，由（1）已证.

假设当时，存在使得.

将中连续的压（或）称为一段.分别从段长度大于1的段、段中各取一个，放在数列末尾（若原末尾为，则取出的放最末尾；若原末尾为，则取出的放最末尾）.

于是，和式中的、各减少l，增加2.此时，.

故当时，结论成立.

综上，能取到的不同整数值个数为1005.