Question

【题目】已知圆经过椭圆的右顶点、下顶点和上顶点．

（1）求圆的标准方程；

（2）直线经过点且与垂直，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点分别为，求四边形面积的最小值．

Answer 1

【答案】(1) . (2)

【解析】

（1）根据圆心必在圆上两点连线的中垂线上可知圆心必在轴上，设圆心，可得半径，利用圆心到圆上点的距离等于半径可构造方程求得圆心和半径，从而得到圆的方程；（2）根据两直线垂直可求得直线的方程，利用可知当四边形面积最小时，取最小值；当切线长最小时，；利用点到直线距离公式和勾股定理可求得的最小值，代入可得面积的最小值.

（1）由椭圆方程得：，，

由圆过可知：圆心必在轴上

设圆心为，则半径

，解得： 圆心为，半径

圆的标准方程为：

（2）直线与垂直

直线方程为：，即：

且

当取最小值时，最小

又且当时，最小

四边形面积的最小值为：