Question

7．已知四边形ABCD为平行四边形，
（Ⅰ）证明?ABCD的对角线的平方和等于?ABCD四条边的平方和；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DA}$，若CE与BF相交于点G，且$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，试求实数λ，μ的值．

Answer 1

分析 （1）如图所示平行四边形ABCD，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，∠DAB=θ，$|\overrightarrow{a}|$=a，$|\overrightarrow{b}|$=b．则$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$．利用数量积运算性质即可证明．
（2）利用向量共线定理、向量共面基本定理即可得出．

解答 （1）证明：如图所示平行四边形ABCD，
设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，∠DAB=θ，$|\overrightarrow{a}|$=a，$|\overrightarrow{b}|$=b．
则$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$．
∴${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
${\overrightarrow{BD}}^{2}$=$（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}+{\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$+$|\overrightarrow{BD}{|}^{2}$=2（a²+b²）．
∴?ABCD的对角线的平方和等于?ABCD四条边的平方和．
（2）解：连接AG．
∵B，G，F三点共线，
∴可设$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AF}$+（1-m）$\overrightarrow{AB}$=m•$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$+（1-m）$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}m\overrightarrow{b}$+（1-m）$\overrightarrow{a}$，
另一方面：C，G，E三点共线可得：$\overrightarrow{BG}$=n$\overrightarrow{BE}$+（1-n）$\overrightarrow{BC}$=$-\frac{1}{2}n\overrightarrow{a}$+（1-n）$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}$=（1-$\frac{1}{2}$n）$\overrightarrow{a}$+（1-n）$\overrightarrow{b}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m=1-\frac{1}{2}n}\\{\frac{1}{2}m=1-n}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{2}{5}$，n=$\frac{4}{5}$．
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{3}{5}\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{b}$．
又$\overrightarrow{AG}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，
∴λ=$\frac{3}{5}$，μ=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量共线定理、向量共面基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．