Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

nx2+mx，x∈R，
（1）若f（x）的单调减区间是（1，2），求f（x）的零点；
（2）若0＜m＜3，0＜n＜3，求f（x）在区间（1，2）上是减函数的概率．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导函数，由函数的减区间为（1，2），可知导函数对应方程的两根为1，2，利用跟与系数的关系列式可求n和m的值，代入原函数后求解对应的3次方程可得函数f（x）的零点；
（2）函数f（x）在区间（1，2）上是减函数，说明其导函数在x∈（1，2）时小于0恒成立，结合二次函数的图象列出关于m，n的不等式组，即得到关于m，n的约束条件，建系后找出可行域，利用几何概型可求f（x）在区间（1，2）上是减函数的概率．

解答：解：（1）由f′(x)=

1

3

x3-

1

2

nx2+mx，得：f′（x）=x²-nx+m，
∵f（x）的单调减区间是（1，2）∴方程x²-nx+m=0的两根为1和2，
∴

n=1+2 m=1×2

∴

n=3 m=2

，∴f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x．
令f（x）=0，即

1

3

x3-

3

2

x2+2x=0，得x=0或

1

3

x2-

3

2

x+2=0（*）
对于方程（*），其判别式△=(-

3

2

)2-4×

1

3

×2=-

5

12

＜0，∴该方程无解．
∴函数f（x）的零点为0．
（2）f′（x）=x²-nx+m，若f（x）在区间（1，2）上为减函数，则f′（x）＜0对x∈（1，2）恒成立，
由f′（x）是开口向上抛物线，所以

f′(1)≤0 f′(2)≤0

，即

1-n+m≤0 4-2n+m≤0

，
建立直角坐标系，横轴为n轴，纵轴为m轴．

直线1-n+m=0与n轴交点为A（1，0），
直线4-2n+m=0与n轴交点为B（2，0），
求解方程组

1-n+m=0 4-2n+m=0

⇒

m=2 n=3

，即交点C（3，2）．
所以，满足条件的可行域为图中阴影部分，
可行区域面积为

1

2

×1×2=1，
故f（x）在区间（1，2）上是减函数的概率P=

1

3×3

=

1

9

．

点评：本题考查了利用导函数研究函数的单调性，考查了导函数的零点与原函数单调区间之间的关系，考查了函数零点的求法，训练了数形结合求解几何概型题，解答此题的关键是找准测度比，此题是中高档题．