Question

直角△ABC的三个顶点在半径为13的球面上，球心为O，直角△ABC两直角边的长分别为6和8，则三棱锥O-ABC的体积为

96

．

Answer 1

分析：由题意，直角△ABC外接圆为平面ABC与球O相交被截得的小圆，该小圆的直径等于AB长，而三棱锥O-ABC的高就是AB中点与球心的连线段．因此，不难用勾股定理求出AB长，进而求出三棱锥O-ABC的高，用锥体体积公式得出三棱锥O-ABC的体积．

解答：解：设直角△ABC两直角边的长AC=6，BC=8，
∴AB=

62+82

=10，且AB是直角△ABC外接圆的直径
∵直角△ABC的三个顶点在同一球面上，
∴平面ABC截球O得小圆，该小圆半径为r=

1

2

AB=5
设AB中点（即小圆圆心）为D，连接OD、OA、OB、OC
∵OD⊥平面ABC
∴Rt△OAD中，OD=

AO2-AD2

=

132-52

=12
因此，三棱锥O-ABC的体积为V=

1

3

S_△ABC×OD=

1

3

×

1

2

×6×8×12=96
故答案为：96

点评：本题给出以球心为顶点且底直角三角形的三个顶点都在球面上的三棱锥，求该棱锥的体积，着重考查了球的截面圆性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．