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已知a,b,c分别是三角形ABC中角A,B,C的对边,关于x的方程b(x2+1)+c(x2-1)-2ax=0有两个相等的实根且sinCcosA-cosCsinA=0,则△ABC的形状为(  )
分析:由已知方程有两个相等的实数根,得到根的判别式等于0列出关系式,利用勾股定理的逆定理判断出B为直角,然后利用两角差的正弦函数公式化简已知的等式,根据C-A的范围,得到A与C相等,进而得到原三角形为等腰直角三角形.
解答:解:∵(b+c)x2-2ax+(b-c)=0有相等实根,
∴△=4a2-4(b+c)(b-c)=0,
∴a2+c2-b2=0,∴B=90°,
∵sinCcosA-cosCsinA=0,∴sin(C-A)=0,
∵-
π
2
<C-A<
π
2

∴C-A=0,即A=C,
∴△ABC是B为直角的等腰直角三角形.
故选D.
点评:本题考查学生掌握根的判别式与方程解的关系,考查两角和与差的正弦函数公式,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边.
(1)若b2=ac,求角B的范围.
(2)若acosA=bcosB,试判断△ABC的形状,并证明你的结论.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=
3
,A+C=2B,则sinC=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,若
cosB
cosC
=-
b
2a+c
,则B=
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC.
 (1)求角B的大小;
 (2)若c=3a,求tanA的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,且满足2asinB-
3
b=0.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)当A为锐角时,求函数y=
3
sinB+sin(C-
π
6
)的最大值.

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