Question

若()ⁿ展开式中前三项系数成等差数列.求：

（1）展开式中含ｘ的一次幂的项；

（2）展开式中所有ｘ的有理项；

（3）展开式中系数最大的项.

Answer 1

思路解析：首先应根据题意，得到关于ｎ的方程，解得ｎ的值，然后根据题目的要求解答每一问.这三问都与二项展开式的通项公式有关，通项为T_r+1=.

解：由已知条件知，解得ｎ=8或ｎ=1（舍去）.

（1）T_r+1=，令4-r=1.解得r=4.

所以ｘ的一次幂的项为T₄₊₁=x.

（2）令4-r∈Z(r≤8)，则只有当ｒ=0,4，8时，对应的项才为有理项，有理项分别为：T₁=x⁴;T₅=x;T₉=.

（3）记第ｒ项系数为t_r，设第ｋ项的系数最大，则有：t_k≥t_k+1,且t_k≥t_k-1.

又t_r=·2^-r+1,于是有,即

解得3≤k≤4，所以系数最大项为第3项T₃=7·和第4项T₃=7·x.