Question

已知动点M到定直线l：x=-的距离比到定点（，0）的距离多1，
（I）求动点M的轨迹C的方程；
（II）设A（a，0）（a∈R），求曲线C上点P到点A距离的最小值d（a）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由动点M到定直线l：x=-的距离比到定点（，0）的距离多1，得到点M与定点（）的距离等于它到直线x=-的距离，然后直接由抛物线的定义得方程；
（Ⅱ）设抛物线上的点P（），由两点间的距离公式写出|PA|²，换元后利用二次函数对称轴的位置讨论得到曲线C上点P到点A距离的最小值d（a）．
解答：解：（1）设动点M的坐标为（x，y），
由已知条件可知，点M与定点（）的距离等于它到直线x=-的距离．
根据抛物线的定义，点M的轨迹是以定点（）为焦点的抛物线．
因为，所以p=1．即点M的轨迹方程为y²=2x；
（2）设抛物线上的点P（），y∈R．则
，整理得：
．
令y²=t≥0，有：，（t≥0）
关于t的二次函数的对称轴为：t=2（a-1）．对对称轴位置作分类讨论如下：
①2（a-1）≤0时，a≤1，即t=1时，，d（a）=|a|；
②2（a-1）＞0时，a＞1，即t=2（a-1）时，，d（a）=．
所以d（a）=．
点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了两点间的距离公式，考查了数学转化思想方法，训练了利用二次函数的对称轴位置讨论二次函数最值的求法，是有一定难度题目．