Question

已知双曲线

x2

2

-y2=1的左、右顶点分别为A₁，A₂，点P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是双曲线上不同的两个动点．
（1）求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程；
（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，且l₁⊥l₂，求h的值．

Answer 1

分析：（1）先确定直线A₁P与A₂Q的方程；再联立方程组解之（相乘处理）；最后利用点P（x₁，y₁）在双曲线上，消去参数x₁、y₁（整体消元）求出轨迹E的方程；
（2）先由l₁⊥l₂设出两直线方程；再分别与椭圆方程联立，根据只有一个交点（即△=0）得出k、h的两个方程；最后解出h的值．

解答：解：（1）由A₁，A₂为双曲线的左右顶点知，A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，
则A1P：y=

y1

x1+ 2

(x+

2

)，A2Q：y=

-y1

x1- 2

(x-

2

)，
两式相乘得y2=

- y 2 1

x 2 1 -2

(x2-2)，
因为点P（x₁，y₁）在双曲线上，所以

x 2 1

2

-

y

2 1

=1，即

y 2 1

x 2 1 -2

=

1

2

，
所以y2=-

1

2

(x2-2)，即

x2

2

+y2=1，
故直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1．（x≠±

2

，x≠0）
（2）设l₁：y=kx+h（k＞0），则由l₁⊥l₂知，l2：y=-

1

k

x+h．
将l₁：y=kx+h代入

x2

2

+y2=1得

x2

2

+(kx+h)2=1，
即（1+2k²）x²+4khx+2h²-2=0，
若l₁与椭圆相切，则△=16k²h²-4（1+2k²）（2h²-2）=0，即1+2k²=h²；
同理若l₂与椭圆相切，则1+2•

1

k2

=h2．
由l₁与l₂与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况：
[1]直线l₁与l₂都与椭圆相切，即1+2k²=h²，且1+2•

1

k2

=h2，消去h²得

1

k2

=k2，即k²=1，
从而h²=1+2k²=3，即h=

3

；
[2]直线l₁过点A1(-

2

，0)，而l₂与椭圆相切，此时k•(-

2

)+h=0，1+2•

1

k2

=h2，解得h=

1+ 17 2

；
[3]直线l₂过点A2(

2

，0)，而l₁与椭圆相切，此时-

1

k

•

2

+h=0，1+2k²=h²，解得h=

1+ 17 2

；
[4]直线l₁过点A1(-

2

，0)，而直线l₂过点A2(

2

，0)，此时k•(-

2

)+h=0，-

1

k

•

2

+h=0，∴h=

2

．
综上所述，h的值为

2

，

3

，

1+ 17 2

．

点评：本题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系及点的轨迹方程求法；同时考查方程思想、运算能力等．