Question

已知圆C经过坐标原点O，A（6，0），B（0，8）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（-2，0）的直线l和圆C的相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，圆C的圆心为线段OA、OB中垂线的交点，求得圆心的坐标；再由原点O在圆上，求得圆的半径，从而得到圆C的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线x=-2与圆C相切．当直线l不与x轴垂直时，用点斜式设l的方程，再根据圆心到直线的距离等于半径求得斜率k的值，从而求得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，圆C的圆心为线段OA、OB中垂线的交点，
即为直线x=3，y=4的交点，
∴圆心为（3，4）．
又原点O在圆上，
∴圆的半径r=

32+42

=5．
∴圆C的方程为（x-3）²+（y-4）²=25．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线x=-2与圆C相切．
当直线l不与x轴垂直时，
设l的方程为y=k（x+2），
即kx-y+2k=0，
∴

|3k-4+2k|

k2+1

=5，
解这个方程得 k=-

9

40

，
∴此时直线l的方程为y=-

9

40

(x+2)，
即9x+40y+18=0．
∴直线l的方程是x=-2，或9x+40y+18=0．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求圆的标准方程，求圆的切线方程，属于中档题．