Question

（2013•海淀区一模）函数f（x）=

1

3

x³-kx，其中实数k为常数．
（I） 当k=4时，求函数的单调区间；
（II） 若曲线y=f（x）与直线y=k只有一个交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；
（II）将题中条件：“函数f（x）的图象与直线y=k只有一个公共点，”等价于“g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一个零点”，利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）的其图象和x轴只有一个交点，得到关于k的不等关系，从而求实数k的取值范围．

解答：解：（I）因为f′（x）=x²-k…（2分）
当k=4时，f′（x）=x²-4，令f′（x）=x²-4=0，所以x=-2或x=2
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

…（4分）
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞）
单调递减区间是（-2，2）…（6分）
（II）令g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一个零点…（7分）
因为g′（x）=f′（x）=x²-k
当k=0时，g（x）=x³，所以g（x）只有一个零点0                …（8分）
当k＜0时，g′（x）=x²-k＞0对x∈R成立，
所以g（x）单调递增，所以g（x）只有一个零点…（9分）
当k＞0时，令g′（x）=f′（x）=x²-k
=0，解得x=

k

或x=-

k

…（10分）
所以情况如下表：

x	（-∞，- k ）	- k	（- k ， k ）	k	（ k ，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	极大值	减	极小值	增

g（x）有且仅有一个零点等价于g（-

k

）＜0…（11分）
即g（-

k

）=

2

3

k

k

＜0，解得0＜k＜

9

4

…（12分） 
综上所述，k的取值范围是k＜

9

4

…（13分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数在极值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，转化思想．