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1.若实数x1,x2,y1,y2满足${(2si{nx}_{1}{-y}_{1})}^{2}$+${{(x}_{2}{-y}_{2}+\sqrt{3})}^{2}$=0(0<x1<π),则${{(x}_{1}{-x}_{2})}^{2}{+{(y}_{1}{-y}_{2})}^{2}$的最小值是(  )
A.$\frac{{π}^{2}}{18}$B.$\frac{{π}^{2}}{9}$C.$\frac{\sqrt{2}}{6}π$D.$\frac{π}{9}$

分析 化简已知条件,得到两个函数,利用函数的导数求出切线的斜率,利用平行线之间的距离求解即可.

解答 解:实数x1,x2,y1,y2满足${(2si{nx}_{1}{-y}_{1})}^{2}$+${{(x}_{2}{-y}_{2}+\sqrt{3})}^{2}$=0(0<x1<π),
可得y1=2sinx1,并且x2-y2+$\sqrt{3}$=0,(x1-x22+(y1-y22的最小值转化为:函数y=2sinx图象上的点与x-y+$\sqrt{3}$=0图象上的点的距离的最小值,
由y=2sinx可得y′=2cosx.与直线x-y+$\sqrt{3}$=0平行的直线的斜率为1,所以2cosx=1,
因为0<x<π,所以解得x=$\frac{π}{3}$,
切点坐标($\frac{π}{3}$,$\sqrt{3}$),与x-y+$\sqrt{3}$=0平行的直线为:y-$\sqrt{3}$=x-$\frac{π}{3}$,即x-y+$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$=0
(x1-x22+(y1-y22的最小值为:$\frac{\frac{π}{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}π$.
故选:C.

点评 本题考查函数与方程的综合应用,函数的导数求解函数的最值,考查计算能力以及转化思想.

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