Question

18．高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1（单位：米）．
（1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；
（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a元．从这6根竹竿中随机抽取两根，若这两根竹竿总价的期望为18元，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由题意知，本题是一个古典概型，6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，满足条件的事件是其中长度之差不超过0.5米的两根竹竿，先做出它的对立事件的概率，用1减去得到结果．
（2）由题意知任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a，a+10，20．结合变量对应的事件写出分布列和期望，根据期望这两根竹竿的价格之和为18元，列出关于a的方程，解方程即可．

解答 解：（1）由题意知，本题是一个古典概型，
∵6根竹竿的长度从小到大依次为3.6，3.8，4.0，4.1，4.3，4.5，
其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3，3.6和4.5，3.8和4.5．
设“抽取两根竹竿的长度之差不超过0.5米”为事件A，
则P（$\overline{A}$）=$\frac{3}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$，
∴P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$．
∴所求的概率为$\frac{4}{5}$．
（2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a，a+10，20．
其中P（ξ=2a）=$\frac{1}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（ξ=a+10）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=20）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$．
∴Eξ=2a×$\frac{1}{15}$+（a+10）×$\frac{8}{15}$+20×$\frac{6}{15}$=$\frac{2a+40}{3}$=18，
∴a=7

点评 本题考查古典概型，考查对立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查的不是求期望，而是利用期望的值求式子中出现的一个变量，利用解方程的思想．