Question

如图，已知F（2，0）为椭圆（a＞b＞0）的右焦点，AB为椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦），线段OF的垂直平分线与椭圆相交于两点C、D，且∠CAD=90°．
（I）求椭圆的方程；
（II）设过点F斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆相交于两点P、Q．若存在一定点E（m，0），使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EP、EQ的距离相等，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可把A、C、D的坐标用含有a，b的代数式表示，由∠CAD=90°，得到，代入坐标可得关于a，b的方程，结合a²=b²+4可求解a，b的值，则椭圆方程渴求；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和与积，由定点E（m，0）使得x轴上的任意一点（异于点E、F）到直线EP、EQ的距离相等得到k_EP+k_EQ=0，由两点写出斜率代入后再把两根的和与积代入即可求得m的值．
解答：解：（Ⅰ）F（2，0），则，其中．
所以．
因为∠CAD=90°，所以．
所以，即，
联立a²=b²+4解得a²=6，所以b²=2．
可得椭圆方程为；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线l的方程为y=k（x-2）（k≠0）．
由，得（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0．
所以．
根据题意，x轴平分∠PEQ，则直线EP，EQ的倾斜角互补，即k_EP+k_EQ=0．
设E（m，0），则有．（当x₁=m或x₂=m时不合题意）
将y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2）代入上式，得．
又k≠0，所以．
即．
即，
∴2x₁x₂-（m+2）（x₁+x₂）+4m=0．
将代入，解得m=3．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法及学生的运算能力，解答的关键是计算的准确性，是有一定难度题目．